Introdução

Silva (2017) discute que a madeira é um material com boas características para uso na construção civil, como, por exemplo: boa resistência à compressão e tração, elevada eficiência estrutural, baixas massas específicas comparativamente falando. Por essas características, as madeiras podem ser utilizadas como elementos estruturais na construção civil, sob a forma de barras de treliças, e até mesmo pilares e vigas de coberta. Apesar dessa versatilidade de usos, Ino e Shimbo (2024) ressaltam a importância de verificar o desempenho característico da espécie de madeira utilizada, pois existe uma grande variação de propriedades mecânicas em função das diferentes espécies de madeiras consideradas. Adicionalmente, Ino e Shimbo (2024) destacam também a importância de considerar, no projeto, aspectos como dimensões, teor de umidade, e a presença de defeitos naturais ou provenientes do processamento. Nesse contexto, em função dessa multiplicidade de variáveis que devem ser consideradas, a norma brasileira de projeto de estruturas de madeiras, a NBR 7190-1 (ABNT, 2022), estabelece uma série de coeficientes de segurança e restrições, que devem ser verificadas. Para efetuar essa verificação de forma automática e obter resultados coerentes e econômicos de dimensões estruturais para elementos de madeiras, o processo de otimização pode ser utilizado (Silva, 2019). Esse processo facilita os cálculos e contribui para a obtenção dos melhores resultados. Assim, o presente trabalho visa, então, apresentar e discutir um exemplo bem sucedido a aplicação da otimização a estruturas de madeira: o caso do dimensionamento de pilares, de acordo com as prescrições normativas da norma brasileira, a NBR 7190-1 (ABNT, 2022). Para implementar essa análise de otimização, foi utilizada a linguagem python, com o intuito de formular matematicamente as restrições e utilizar algoritmos otimizadores nativos da própria linguagem, de modo a facilitar mais ainda os cálculos. Nesse âmbito, o código principal requer apenas os dados de entrada, que são detalhados no item 3 deste trabalho, e retorna ao usuário as dimensões mínimas de seção transversal e volume para um pilar de madeira sujeito à flexo-compressão. Além da aplicação do código, este trabalho também investigou como a variação de alguns parâmetros (altura livre do pilar, esforço normal, momento fletor, espécie da madeira utilizada) impactam nos resultados de otimização.

Referencial teórico

Estruturas de madeira

Pfeil e Pfeil (2003) relata que as madeiras utilizadas na construção civil são extraídas de troncos de árvores distintas, dependendo da sua estrutura celular podem ser divididas entre madeiras duras, provenientes de arvores frondosas e madeiras macias, derivadas de árvores coníferas. Ainda em conformidade com Pfeil e Pfeil (2003), pode-se classificar as madeiras usadas em construção como sendo madeiras maciças, com maiores limitações comerciais, mas com menor custo e boa resistência, e madeiras industrializadas submetida a um controle de qualidade maior e uma maior versatilidade. Segundo Ino e Shimbo (2024), a madeira possui qualidades construtivas, tais como boa trabalhabilidade, facilidade de manipulação, baixo peso, alta eficiência estrutural e resistência à oxidação. No entanto, apresenta algumas limitações, como variações volumétricas, combustibilidade, e alterações dimensionais devido a variações de temperatura e umidade. Adicionalmente, conforme mencionado por Silva (2017), a madeira é um material anisotrópico, o que significa que não possui propriedades simétricas em torno de um eixo devido à orientação das suas células. Ela possui três principais direções de conforme suas propriedades: tangencial, radial e longitudinal, cada uma com resistências diferentes, como ilustrado na Figura 1.

No que diz respeito ao comportamento mecânico, a madeira demonstra resistência à compressão, tração e flexão ao longo do seu eixo principal, e resistência à tração normal e ao cisalhamento no sentido transversal às fibras. Sua estrutura celular consiste em fibras orientadas em várias direções, influenciando diretamente a capacidade do material de resistir a esforços axiais. A máxima resistência é alcançada quando a carga é aplicada paralelamente às fibras, uma resistência intermediária quando aplicada em um ângulo inclinado, e a resistência mínima quando aplicada perpendicularmente às fibras.

Otimização

Neste tópico, a otimização é abordada como um mecanismo para resolver problemas diversos, como, por exemplo, aqueles relacionados ao desempenho estrutural de pilares de madeira. Segundo Silva (2019), otimização refere-se à busca da melhor solução para um problema, respeitando certas restrições. Com base nisso, é possível definir um problema de otimização de uma maneira mais geral, conforme a Equação 1, e demonstrado graficamente na Figura 2. Conforme destacado pela Equação 1, existe uma função objetivo, que é aquela a ser minimizada matematicamente, e as restrições, que podem ser de igualdade ou de desigualdade. A Figura 2 complementa a análise, mostrando graficamente a obtenção de um ponto mínimo. Por outro lado, essa mesma figura indica a presença de pontos viáveis e inviáveis, aonde os pontos inviáveis são aqueles nos quais alguma ou algumas das restrições não são matematicamente satisfeitas, ou seja, esses resultados não são soluções para o problema. Nesse sentido, a aplicação de técnicas de otimização pode ser viabilizada por várias linguagens computacionais, especialmente aquelas que oferecem bibliotecas dedicadas, como o Python. Associado a isso, Menezes (2010) destaca que o Python é conhecido por sua simplicidade e clareza. A biblioteca SciPy, que inclui o módulo Optimize com a função minimize, é amplamente utilizada para resolver problemas de minimização de funções não lineares.

Minimize f(x)

Submetido a:

Onde:

f (x) é a função objetivo;

g_i (x) são restrições de desigualdades;

h_i (x) são restrições de igualdade; e

x_i* e x_i** são respectivamente os limites inferiores e superiores das variáveis definidas no projeto.

Método

Aplicação da otimização

Para a otimização estrutural dos pilares de madeira, foram desenvolvidas rotinas de cálculo em Python. Essas rotinas incluem um código principal responsável pela otimização e entrada de dados, além de um código auxiliar que avaliar as restrições. Os dados de entrada para o funcionamento do código são listados no Quadro 1. O objetivo é minimizar o volume e determinar a seção ideal do pilar como saída do programa. O tipo de pilar a ser otimizado é aquele mostrado na Figura 3: um pilar simplesmente apoiado nas extremidades e submetido a flexo-compressão (combinação de esforços), de carga axial e momento fletor em torno de um único eixo, o eixo x (ver Figura 4). A seção transversal desse pilar é retangular, e definida por duas dimensões básicas: base (b) e altura (h), como mostrado na 04 . Essa seção retangular é o resultado da otimização, ou seja, o resultado ótimo corresponde às demais dessa seção que minimizam o volume do pilar.

Uso da otimização

A implementação em Python gerou uma rotina de cálculo que otimiza o processo através de um código principal e outros auxiliares para chamar as funções necessárias. No ambiente do Spyder, uma função nativa é empregada para calcular variáveis de projeto, como a seção transversal, a base e a altura do pilar, além de definir a função objetivo que minimiza o volume conforme o comprimento, utilizando equações de restrição específicas da NBR 7190-1 (ABNT, 2022). A Equação 2 demonstra a formulação básica da otimização aplicada ao estudo.

Minimize: v𝑜𝑙 (𝑏, ℎ)

Sujeito a:

O volume do pilar é representado conforme a Equação 3, onde b é a base e h é a altura a serem geradas:

Os limites das dimensões pré-definidas servem como ponto de partida para determinar a seção, variando dentro de valores estabelecidos previamente. Os valores específicos dos componentes de projeto são retornados dentro desses limites na interface do programa. As restrições não-lineares são descritas na Equação 2 e detalhadas nas Equações 8 a 18 deste estudo. Além disso, a minimização é realizada pela função minimize da biblioteca Optimize, que ajusta os parâmetros de otimização para garantir o cumprimento das restrições estabelecidas. A função minimize utiliza diferentes métodos algorítmicos para resolver a otimização. Neste trabalho, o método escolhido foi o SLSQP, adequado para lidar com mínimos locais e globais até alcançar o valor ótimo desejado, especialmente eficaz dado o número de restrições não-lineares presentes no problema, conforme especificado na Equação 2. A Figura 5, descreve as etapas de otimização do estudo para obtenção dos menores volumes para o caso de análise.

Obtenção dos parâmetros da madeira

A análise estrutural de segurança dos pilares são realizadas com base nas equações apresentadas nas equações 8 a 18 deste estudo, as quais foram extraídas da norma e implementadas no programa utilizado para o cálculo e avaliação das condições da estrutura. Em seguida, são definidas as restrições de esbeltez máxima e relativa nos eixos, bem como a tensão máxima de flexocompressão, utilizando-se os momentos de inércia, índices de esbeltez, módulo de resistência e área da seção. Após todas as verificações, o processo de otimização retorna os valores da seção transversal e do volume do pilar, que são definidos como a função objetivo. O código começa a partir de uma estimativa inicial, que serve como ponto de partida para o programa processar e verificar se o valor está próximo do ideal. Ao final do preenchimento dos dados, o programa fornece o valor exato mínimo desejável para uso no projeto.

As verificações de comportamento foram conduzidas em pilares feitos de madeiras nativas do Brasil. Foram selecionados cinco tipos de madeiras, cada um pertencente a uma classe de resistência diferente, com o objetivo de obter resultados satisfatórios. Os dados sobre a classe de resistência das espécies são essenciais para a análise, pois determinam a resistência da madeira. Foi usada Tabela A.1 da NBR 7190-3 (ABNT, 2022), que detalha os métodos de ensaio para corpos de prova isentos de defeitos em madeiras de florestas nativas, incluindo a classificação das espécies com base em seus nomes populares e científicos. As características da madeira influenciam diretamente os parâmetros analisados, especialmente os dados de entrada iniciais. Na Tabela 2 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), representada no Quadro 2, estão especificados os valores de resistência à compressão paralela às fibras (fc0,k), resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv0,k), módulo de elasticidade médio paralelo às fibras (Ec0,med) e densidade a 12% de teor de umidade. Esses dados foram extraídos da Tabela 1, Parte 1, da mesma norma, representada no Quadro 1, onde a umidade do ambiente (Uamb) e a umidade de equilíbrio máxima da madeira (Ueq) são usadas para determinar as classes de umidade para espécies coníferas e dicotiledôneas.

As resistências de projeto chamadas de Xd, podem ser obtidas a partir da expressão abaixo (Equação 4):

Onde:

γw é o coeficiente de minoração das propriedades da madeira;

kmod é o coeficiente de modificação que considera influências não contempladas por γw; e

Xk representa o valor característico.

Assim, a resistência de cálculo do projeto paralela às fibras é determinada pela Equação 5:

O coeficiente de minoração γw, aplicado à resistência para estados limites últimos (ELU) decorrentes de tensões normais paralelas às fibras da madeira, tem um valor básico de γw = 1,4. Nas verificações dos ELU relacionados à estabilidade de peças comprimidas e flexocomprimidas, utiliza-se o valor do módulo de elasticidade (E0,05). No caso da Tabela 2 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), considera-se 70% do valor médio do módulo de elasticidade, conforme a seguinte Equação 6:

Os coeficientes de minoração ajustam os valores característicos das propriedades de resistência da madeira, levando em conta a classe de carregamento da estrutura e a umidade permitida. Esses coeficientes são expressos da seguinte forma (Equação 7):

O coeficiente parcial de modificação kmod1 considera a classe de carregamento e o tipo de material utilizado, conforme estabelecido na Tabela 4 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), representada no Quadro 3. Já o coeficiente parcial de modificação kmod2 leva em conta a classe de umidade e o tipo de carregamento, de acordo com a Tabela 5, Parte 1, da mesma norma, representada no Quadro 4.

Verificações de segurança estrutural

Para limitar o dimensionamento da seção transversal do pilar, são verificadas restrições com base na NBR 7190-1 (ABNT, 2022), garantindo que a estrutura não ultrapasse o valor mínimo ideal. Conforme o item 9.3 da norma, a esbeltez máxima nos eixos não permite o uso de peças comprimidas retangulares ou múltiplas se o comprimento de flambagem (L0) exceder 40 vezes a dimensão transversal correspondente. Com base na Figura 4, para o eixo x, a representação é dada pela Equação 8 e para o eixo y, a expressão é dada pela Equação 9.

Onde L₀ é definida pela Equação 10:

Onde K_E é o coeficiente de flambagem de projeto, determinado com base nas condições de extremidade ou apoio da estrutura, conforme indicado na Tabela 7 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), representada no Quadro 5, e L é o comprimento destravado do pilar.

De acordo com o item 6.3.7 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), a tensão de flexocompressão referente à condição de segurança de resistência das seções transversais, aplicada ao ponto mais crítico da borda comprimida, é calculada pela seguinte Equação 1:

Onde:

Mx,d é o momento fletor de projeto;

W é módulo de resistência em x, calculado pela Equação 12; e

Nd é o esforço normal de projeto.

Conforme a NBR 7190-1 (ABNT, 2022), as condições de dimensionamento dependem do índice de esbeltez da peça, descrito na Equação 13 onde I é o momento de inércia na direção analisada e A é a área da seção transversal.

Considerando que, para o cálculo da área temos (Equação 14):

As Equações 15 e 16 da inercia para os eixos x e y são representadas abaixo:

As verificações finais de restrição, do estudo em questão, abordam os índices de esbeltez relativa na direção analisada. De acordo com o item 6.5.5 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022), esses valores não devem exceder 0,3, para que atendam às condições de compressão ou flexocompressão, eliminando a necessidade de verificação de estabilidade. O item 6.5.4 define esses valores conforme as seguintes diretrizes:

Para o eixo horizontal x (Equação 17):

Para o eixo vertical y (Equação 18):

Resultados e discussões

Para avaliar o impacto dos parâmetros mencionados anteriormente na otimização, foram realizados estudos paramétricos em quatro cenários que analisam o comportamento da madeira em relação à sua massa e volume. Apesar de a otimização ter o volume como função objetivo, a massa, que é o produto do volume pela massa específica, também foi utilizada para avaliação dos resultados porque o tipo de espécie de madeira influencia no respectivo valor de massa específica, o que implica em diferentes comportamentos quando comparados aos volumes. Entre os parâmetros utilizados para análise comparativo, estão: o comprimento efetivo (ou altura livre) do pilar, a espécie da madeira (cuja mudança influencia em basicamente todos os parâmetros de resistência, como mostrado nas Equações 4 a 7 do presente trabalho), o momento fletor em torno do eixo x e o esforço normal, todos exercendo influência direta na madeira, o que resulta em variações nas seções transversais, volumes e massas.

Nos quadros e figuras a seguir, cada ponto nas figuras e cada linha nas tabelas correspondem a um ponto ótimo, definido por um conjunto de parâmetros pré-determinados, que refletem as diferentes otimizações. No primeiro caso, apresentado na Tabela 2, analisamos a variação do comprimento do pilar, o que resultou em diferentes seções, volumes e massas. À medida que o comprimento do pilar foi aumentado gradualmente em incrementos de 50 cm, observou-se que a seção transversal, inicialmente retangular, tornou-se quadrada a partir de 3,50 m. Consequentemente, o volume também aumentou. Durante esse processo, houve uma variação percentual proporcional entre o volume e a massa de uma amostra para outra, até que, eventualmente, ocorreu uma estabilização, conforme demonstrado na Tabela 2.

A Figura 6 mostra um comportamento semelhante ao de uma função crescente, comparando o comprimento do pilar com a massa.

O segundo caso, apresentado na Tabela 3, examina a variação entre diferentes espécies de madeira. Cada espécie é classificada em uma determinada classe, o que resulta em variações nos valores de fc0,k e Ec0,med. Essas mudanças afetam diretamente a seção, o volume e a massa, que aumentam à medida que a classe da madeira se eleva. Embora o volume também cresça, ele não acompanha o aumento da massa na mesma proporção. Devido à variação na densidade entre as espécies de madeira, que aumenta conforme o tipo de madeira, o volume se expande de maneira distinta. Esse processo leva a uma estabilização, conforme demonstrado na Tabela 3.

A Figura 7 apresenta um comportamento similar ao de uma função linear crescente, comparando a classe da espécie de madeira com a massa.

A Figura 8 exibe um comportamento semelhante ao de funções logarítmicas, comparando a classe da espécie de madeira com o volume.

O terceiro caso, apresentado na Tabela 4, examina a variação do momento fletor em torno do eixo x. À medida que o carregamento aumenta gradativamente em 100 kNm, observa-se que uma das dimensões das seções é mantida fixa para garantir um bom desempenho na restrição da esbeltez, enquanto a outra dimensão da seção aumenta para reforçar a resistência do pilar.

Comparando com os casos anteriores, nota-se que o programa ajusta as seções com base na esbeltez: se a seção é quadrada, indica que a restrição de esbeltez é predominante; se a seção é retangular, outras variáveis tornam-se mais relevantes. Conforme esse processo ocorre, há uma diminuição proporcional tanto no volume quanto na massa de uma amostra para outra, levando eventualmente a uma estabilização, como ilustrado na Tabela 4.

A Figura 9 exibe um comportamento similar ao de funções lineares crescentes, comparando o momento fletor com a massa.

Por fim, o quarto e último caso, apresentado na Tabela 5, analisa a variação do esforço normal, abrangendo cinco espécies de madeira escolhidas arbitrariamente conforme a Tabela A.1 da NBR 7190-1 (ABNT, 2022). À medida que o carregamento aumenta, observa-se um comportamento crescente, para a classe D20, há um crescimento linear contínuo e para a classe D30, é mostrada uma certa estabilidade inicial, mas também segue uma tendência linear crescente com maior esforço. As outras classes mantêm comportamento constante, sem alterações significativas nas seções, massas e volumes, mesmo com pequenos aumentos de esforço. Conclui-se que, à medida que a classe da madeira aumenta, sua resistência a tensões também cresce. Apenas a primeira amostra exibe um aumento proporcional de volume e massa enquanto as demais mantêm suas variáveis inalteradas, conforme demonstrado na Tabela 5.

A Figura 10 mostra um comportamento que varia entre as amostras: nas três primeiras, observa-se uma função constante; na quarta amostra, a função permanece constante com pequenos esforços, mas cresce linearmente após um aumento significativo de carregamento. Por fim, a última amostra exibe uma função crescente. A figura compara o esforço normal com a massa.

Conclusões

Este trabalho desenvolveu um código em python para implementar a otimização no dimensionamento de pilares de madeira submetidos a flexo-compressão, e analisou a influência dos parâmetros naturais, proveniente das características de cada espécie e parâmetros de projeto, baseado na NBR 7190-1 (ABNT, 2022). Além de a otimização ter sido satisfatoriamente aplicada, os estudos paramétricos conduzidos produziram conclusões de interesse científico:

1. no Primeiro Caso estudado A relação entre o comprimento do pilar e sua massa mostrou um comportamento crescente, com clara não-linearidade;

2. no segundo caso ao comparar a variação da classe da espécie de madeira com sua massa, observou-se que a massa específica impacta essa relação, resultando em um comportamento distinto em comparação ao volume;

3. a análise da variação do momento fletor em relação à massa indicou que uma das dimensões das seções é fixada para manter o desempenho na esbeltez, enquanto a outra dimensão aumenta para reforçar a resistência do pilar; e

4. a comparação entre o esforço normal e a massa das amostras revelou que o aumento da classe da madeira melhora sua resistência a grandes carregamentos.

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